Мгновенен ли свет? Галилей пытался засечь его фонарями на двух холмах и ничего не заметил. В 1676 году ответ дала луна Юпитера.
Спутник Ио обходит Юпитер за 42,5 часа и каждый раз уходит в его тень — идеальные часы. Рёмер заметил: когда Земля удаляется от Юпитера, затмения наступают всё позже; за полгода задержка набирается примерно до 22 минут (его оценка). Гюйгенс превратил это в скорость около 220 000 км/с. На самом деле путь через орбиту Земли занимает 16,6 минуты (299 792 км/с), так что число занижено примерно на четверть, но конечность скорости света была показана.
Дальше: Хаббл и Вселенная, которая расширяется без центра.
Источники:
• Wikipedia: «Rømer's determination of the speed of light»
• Optics & Photonics News, «Ole Rømer and the Speed of Light» (2009)
• Britannica: «Ole Rømer»
Анимация написана кодом (Manim). Озвучка синтезированная (ИИ-голос). Фоновая музыка сгенерирована кодом.
#Shorts #Физика #СкоростьСвета #ИсторияНауки
Площадь под колоколом e^(−x²) равна ровно √π. Откуда пи, если круга нет?
Трюк: возведём площадь в квадрат. Произведение двух интегралов — объём под круглым холмом e^(−(x²+y²)). Нарежем его на кольца: кольцо радиуса r даёт 2πr·e^(−r²)·dr, а этот интеграл равен π, поэтому I² = π. Численно тонкие полоски дают 1,77245 = √π, интеграл по кольцам — 3,14159.
История: результат получил Лаплас в 1774 году; полярную форму доказательства часто приписывают Пуассону, что историки оспаривают.
Дальше: почему ночью темно? Парадокс Ольберса.
Источники:
• Wikipedia: «Gaussian integral»
• Keith Conrad, «The Gaussian integral»
• «A correction of the historiographical record on the probability integral» (arXiv:1910.08791)
Анимация написана кодом (Manim). Озвучка синтезированная (ИИ-голос). Фоновая музыка сгенерирована кодом.
#Shorts #Математика #ИнтегралГаусса #Пи
Удвойте объём куба циркулем и линейкой. Математики бились над этим больше двух тысяч лет. В 1837 году Пьер Ванцель доказал, что это невозможно.
У куба со стороной 1 объём 1. Объём 2 требует стороны ∛2 ≈ 1,2599. Циркуль и линейка рисуют только прямые и окружности; длины, которые они строят, получаются из сумм, произведений, частных и квадратных корней. Каждый квадратный корень может лишь удвоить степень числа: 1, 2, 4, 8, … Но ∛2 — корень неприводимого уравнения x³ = 2 степени 3, а 3 не степень двойки.
Греки решали задачу другими инструментами: Менехм использовал параболу и гиперболу (y = x² и y = 2/x пересекаются ровно в x = ∛2). Справляются и оригами, и линейка с отметками.
Дальше: как Ньютон доказал закон Кеплера с помощью треугольников.
Источники:
• Wikipedia: «Doubling the cube», «Pierre Wantzel»
• P. L. Wantzel, «Recherches sur les moyens de reconnaître si un problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas», J. Math. Pures Appl. 2 (1837), 366–372
#Shorts #Математика #УдвоениеКуба #Геометрия #ИсторияМатематики
Парабола отсекает криволинейную область. Как найти её точную площадь? Архимед заполнил её треугольниками — за две тысячи с лишним лет до математического анализа.
Проведём хорду и впишем самый большой треугольник под дугой (его верхняя вершина там, где касательная параллельна хорде): площадь примем за 1. В промежутки встают ещё два треугольника, каждый ровно 1/8, вместе 1/4. Почему 1/8? Хорда вдвое короче, поэтому ширина вдвое меньше, а «прогиб» дуги — в четыре раза меньше (для хорды [a, b] он равен (b − a)²/4); площадь (b − a)³/8 уменьшается в 8 раз. Каждый раунд добавляет четверть предыдущего:
1 + 1/4 + 1/16 + 1/64 + … = 4/3
Почему хвост равен 1/3, видно на квадрате: три равные цепочки четвертей заполняют его целиком, значит 1/4 + 1/16 + … = 1/3. Сегмент параболы равен ровно 4/3 своего треугольника.
Дальше: почему нельзя удвоить куб.
Источники:
• Wikipedia: «The Quadrature of the Parabola» (24 предложения, письмо Досифею)
• Архимед, «Квадратура параболы»; T. L. Heath, The Works of Archimedes (1897)
#Shorts #Математика #Архимед #Геометрия #ИсторияМатематики
Архимед, по преданию, завещал высечь на надгробии шар в цилиндре. Объём шара он нашёл, уравновесив его на воображаемом рычаге.
Возьмём шар радиуса r, а также конус и цилиндр высотой с шар и радиусом основания 2r. Рассечём все три тела на одной высоте: срез шара плюс срез конуса, подвешенные на расстоянии 2r от опоры, уравновешивают срез цилиндра на своём месте. Срез за срезом: шар вместе с конусом уравновешивают весь цилиндр, вес которого приложен в центре (расстояние r):
(V + 8πr³/3) · 2r = 8πr³ · r → V = 4πr³/3
Шар занимает ровно 2/3 своего цилиндра. Архимед описал метод в письме Эратосфену; письмо нашли в 1906 году в палимпсесте Архимеда. Срезы — эвристика: строгие доказательства он дал отдельно.
Дальше: как Архимед находил площадь параболы с помощью треугольников.
Источники:
• Wikipedia: «The Method of Mechanical Theorems»
• Архимед, «О шаре и цилиндре»; T. L. Heath, The Method of Archimedes (1912)
• Цицерон, «Тускуланские беседы», V; Плутарх, «Марцелл» (рассказ о надгробии)
#Shorts #Математика #Архимед #Геометрия #ИсторияМатематики
Больше 1200 лет назад в Багдаде аль-Хорезми решал квадратные уравнения без единого символа: только квадратами и прямоугольниками.
Его пример: «квадрат плюс десять его корней равно тридцати девяти», по-нашему x² + 10x = 39. Разрежем полосу 10x на четыре равных прямоугольника и приставим по одному к каждой стороне квадрата (x). Не хватает четырёх угловых квадратов (5/2)², вместе 25. Получился один большой квадрат площадью 39 + 25 = 64, его сторона 8. Она же равна x + 5, значит, x = 3.
Название его книги, аль-джабр, дало слово «алгебра». Его имя в латинском виде дало слово «алгоритм».
Дальше: как Архимед взвешивал шар на рычаге.
Источники:
• MacTutor: «Al-Khwarizmi» (пример и геометрическое решение)
• Wikipedia: «Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi», «Al-Jabr»
• F. Rosen, The Algebra of Mohammed ben Musa (1831)
#Shorts #Математика #Алгебра #АльХорезми #ИсторияМатематики
Рулетку до Солнца не протянешь. Как греческий астроном оценил расстояние до него, используя только Луну?
Когда Луна освещена ровно наполовину, свет Солнца падает на неё сбоку, поэтому в треугольнике Земля–Луна–Солнце угол при Луне прямой. Аристарх Самосский принял угол при Земле равным 87°. В прямоугольном треугольнике с таким углом Солнце дальше Луны от 18 до 20 раз.
На самом деле — примерно в 390 раз. Геометрия была верной, а угол нет: он равен примерно 89,85°, слишком близко к 90°, чтобы измерить его древними инструментами. Ошибка в 2,85° сделала ответ примерно в 20 раз меньше.
Дальше: как аль-Хорезми решал квадратные уравнения, достраивая квадрат.
Источники:
• Аристарх, «О величинах и расстояниях Солнца и Луны» (T. L. Heath, Aristarchus of Samos, 1913)
• Wikipedia: «Aristarchus of Samos», «On the Sizes and Distances (Aristarchus)»
• MacTutor: «Aristarchus of Samos»
#Shorts #Математика #Аристарх #Астрономия #ИсторияНауки
Больше 2000 лет назад Эратосфен измерил размер Земли с помощью палки, тени и геометрии.
По рассказу Клеомеда: в полдень летнего солнцестояния в Сиене (нынешний Асуан) вертикальная палка не даёт тени, потому что Солнце в зените. В тот же день в Александрии, севернее, палка даёт тень под углом 7,2°, то есть 1/50 полного круга. Расстояние между городами около 5000 стадиев, поэтому окружность Земли равна
50 × 5 000 = 250 000 стадиев
Длина стадия спорна. При египетском стадии около 157,5 м выходит ≈ 39 400 км: в пределах 1,6% от современных 40 008 км (по меридиану).
Оговорки: Сиена на самом деле примерно на 1° севернее тропика и на 3° восточнее Александрии, и неизвестно точно, каким стадием пользовались.
Дальше: как Аристарх нашёл расстояние до Солнца по половинке Луны.
Источники:
• Клеомед, «О круговращении небесных тел», I.10 (книга самого Эратосфена утрачена)
• Wikipedia: «Eratosthenes», «Earth's circumference»
• Walkup, «Eratosthenes and the Mystery of the Stades»
#shorts #Математика #Эратосфен #Геометрия #ИсторияНауки