065 — Конечные нули в факториале

Как точно определить, сколько нулей в конце у большого факториала, не вычисляя сам факториал? Вот что такое нули в конце числа. Нуль в конце числа — это ноль, который появляется в самом конце положительного целого числа. Например: У числа 20 один ноль в конце. У числа 200 два нуля в конце. У числа 2000 три нуля в конце. Нули должны быть последовательными и находиться в конце числа. Начните с плана подготовки к GMAT: https://gmat.gregmat.com/study-plans/the-gmat-study-plan РАЗДЕЛЫ 00:00 - Что такое ноль в конце числа? 00:16 - Почему нули должны быть в конце 00:56 - Связь нулей в конце с степенями 10 01:32 - Нули в конце на самом деле связаны с делителями числа 10 01:42 - Простой пример с 5! 02:07 - Переходим к 50! 02:21 - Как мы создаём 10 из простых чисел? 02:33 - Почему 5 является ограничивающим множителем 03:01 - Превращение нулей в конце в задачу на степени 5 03:10 - Подсчёт степеней 5 в 50! 03:35 - 50! имеет 12 нулей в конце 03:45 - Ещё один пример 04:00 - Сколько нулей в конце в 1200!? 04:24 - Подсчёт степеней 5 в 1200! 04:50 - Окончательный ответ: 298 нулей в конце числа Вот ключевая идея: Каждый ноль в конце числа получается из множителя числа 10. И: 10 = 2 × 5 Таким образом, чтобы создать 10, нам нужна одна двойка и одна пятерка. Возьмем 5!: 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 Внутри этого факториала мы можем сопоставить одну пятерку с одной двойкой: 5 × 2 = 10 Таким образом, у 5! есть один множитель числа 10. И: 5! = 120 что заканчивается ровно одним нулем в конце числа. С большим факториалом, таким как 50!, записывать все число целиком нецелесообразно. Вместо этого спросим: Сколько десятков мы можем создать? Поскольку факториалы содержат гораздо больше делителей числа 2, чем делителей числа 5, пятерки становятся ограничивающим множителем. Таким образом, нахождение количества нулей в конце числа 50! фактически эквивалентно нахождению количества степеней числа 5 внутри 50!. Подсчитайте кратные 5: ⌊50 ÷ 5⌋ = 10 Затем подсчитайте дополнительные делители числа 5, полученные из кратных 25: ⌊50 ÷ 25⌋ = 2 Следующая степень: 125 и нет кратных 125 от 1 до 50. Итак: 10 + 2 = 12 Это означает: 50! имеет 12 нулей в конце. Теперь возьмем нечто гораздо большее: 1200! Нет смысла вычислять само число 1200!. Мы просто посчитаем степени числа 5: ⌊1200 ÷ 5⌋ = 240 ⌊1200 ÷ 25⌋ = 48 ⌊1200 ÷ 125⌋ = 9 ⌊1200 ÷ 625⌋ = 1 ⌊1200 ÷ 3125⌋ = 0 Теперь сложим их: 240 + 48 + 9 + 1 = 298 Итак: 1200! заканчивается на 298 нулей в конце. Довольно удивительно, учитывая, что нам никогда не приходилось вычислять 1200!. Главный вывод: Нули в конце числа образуются из делителей числа 10. 10 = 2 × 5. В факториале двойки встречаются гораздо чаще, чем пятерки, поэтому количество пятерок определяет, сколько полных делителей числа 10 мы можем составить. Подсчитайте степени числа 5, сложите их, и вы получите количество нулей в конце числа. Тест к этому уроку: https://gmat.gregmat.com/quizzes/quiz/gmat-trailing-zeros-in-a-factorial Для доступа к тесту вам потребуется бесплатная учетная запись GregMat. Продолжите полный курс по арифметике GMAT: https://www.youtube.com/playlist?list=PLFzybs-0YWa0EYHxE1BIFuWrT7r5VgGdb Полная платформа для подготовки к GMAT: https://gmat.gregmat.com/ Если этот урок вам помог, подпишитесь на канал GregMat и продолжайте проходить курс «Основы количественной части GMAT». #TrailingZeros #Factorials #GMATQuant #GMATArithmetic #NumberProperties #GregMat