Лекция 16 | Гомологическая алгебра | Василий Ионин

15.07.2023 В 16 эпизоде мы изучали Ext'ы. Я анонсировал 16 лекцию как последнюю, но, наверное, завтра на второй паре по когомологиям групп будет экстренное включение, где мы обсудим еще некоторые инструменты, которые пригодятся нам в курсе по группам: старшие пределы и универсальные коэффициенты Как вычислять эксты -- Фактор делимой группы делим. Следствие: обнуление больших экстов для абелевых групп -- Прямая сумма (произведение) выносится из первого (второго) аргумента экста как произведение -- Вычисления (знаем полностью Ext^*(A, B), если A конечно порождена): a) Ext^0(Z/p, B) = p_B, Ext^1(Z/p, B) = B/pB b) Ext^0(Z, B) = B, Ext^1(Z, B) = 0 -- Если A группа кручения, то Ext^1(A, Z) = A^* (Понтрягин). Следствие: Ext^1(Z_p^∞, Z) = Z_p, где Z_p^∞ = Z[1/p] / Z () -- Если A конечно представленный модуль, S центральна м.с., то Hom(S^-1 A, S^-1 B) = S^-1 Hom(A, B) -- Следствие: для коммутативных нётеровых колец и конечно порожденного A выполнено Ext(S^-1 A, S^-1 B) = S^-1 Ext(A, B) -- Следствие: локальность условия обнуления экста (условия те же) Связь с расширениями -- Пушауты сохраняют эпи; в абелевых категориях пушауты сохраняют моно -- Расширения модулей, категория расширений (это группоид!), эквивалентность расширений, расщепимые расширения -- Если Ext^1(A, B) тривиален, то любое расширение A с помощью B расщепимо -- Биекция между классами эквивалентности расширений A с помощью B и Ext^1(A, B) -- Сумма Баера Аксиомы Гротендика для аддитивных категорий из Тохоку -- (AB1) — предабелевы -- (AB2) — абелевы -- (AB3) — кополные абелевы -- (AB4) — (AB3) + копроизведение моно = моно -- (AB5) — (AB3) + фильтрованный копредел точен -- (AB5) + наличие генератора — категории Гротендика (такие, что рассматривая предпучки с кодом в них, есть шифификация)