Математика на китайском экзамене Гаокао 2026: Задача 18 (эллипс, антиподы)

Задача 18 с ГаоКао 2026 года в Китае, решенная полностью: эллипс с левым фокусом F(-1,0) и эксцентриситетом 1/2, переменная прямая, проходящая через F, и два вопроса, которые выглядят как сложная координатная геометрия. Но это не так. Обе половины части (2) представляют собой одно наблюдение, использованное дважды. Прямая PO проходит через центр эллипса, а эллипс симметричен относительно своего центра — поэтому R, вторая точка, где PO пересекает кривую, — это в точности -P. Начало координат — середина PR. Все остальное следует из этого. Часть (1) состоит из трех чисел: c = 1, e = c/a = 1/2, что дает a = 2, и b² = 4 - 1 = 3. Таким образом, C равно x²/4 + y²/3 = 1. Часть (2)(i) спрашивает о l, когда площадь треугольника PQR в три раза больше площади треугольника PFO. Поскольку O — середина PR, [PQR] = 2[PQO]. И PQO и PFO имеют общую вершину O с основаниями на l, поэтому их площади находятся в соотношении |PQ| : |PF|. Условие сводится к |PF| = 2|FQ| — фокус пересекает хорду в соотношении два к одному — что в координатах просто равно y1 = -2 y2. Записывая l как x = my - 1 (никогда не деля на ноль, что было бы в случае вертикальной линии), получаем 45m² = 36, следовательно, m = 2/√5, а наклон равен √5/2. Прямая y = (√5/2)(x + 1), и проверка дает точный результат: P = (1/2, 3√5/4), Q = (-7/4, -3√5/8), площади 9√5/8 и 3√5/8. Часть (2)(ii) спрашивает о минимуме tan(угла PQR), и именно здесь антипод оправдывает себя. QP имеет наклон k. QR имеет наклон (y1+y2)/(x1+x2) — суммы, где QP использует разности. Вычтем два уравнения эллипса, и эти два наклона в результате умножения дают константу: -3/4, что равно -b²/a². Это соотношение сопряженного диаметра, и оно исключает все координаты из задачи. Подставим оба наклона в формулу угла, заметим, что 1 + k·k_QR = 1/4, и получим: tan(угол PQR) = 4k + 3/k AM-GM завершает расчет: 4k + 3/k = 2√12 = 4√3, с равенством в точке k =√3/2. Минимум равен 4√3, примерно 6,93. В последнем действии наклон изменяется, так что вы можете наблюдать, как угол достигает минимума — и понять, почему он никогда не достигает 90 градусов, поскольку произведение наклонов равно -3/4 и никогда не равно -1. Важный вывод: хорда, проходящая через центр конического сечения, заканчивается в антиподе, и из любой точки кривой два наклона в пересчете дают -b²/a². Каждая константа на экране была получена символически и перепроверена численно перед анимацией видео. Анимация создана с помощью Manim. Разработано SciMigo. https://scimigo.com/ #математика #гаокао #эллипс #коническиесечения #аналитическаягеометрия