Предел последовательности в метрических пространствах, свойства | Лекция 6 | Правдин К.В. | ИТМО

💡 В прошлой лекции мы ввели понятие метрического пространства. В этой лекции мы сформулируем понятие предела в метрических пространствах, докажем его единственность, а также ограниченность сходящейся последовательности. Эти же свойства будут справедливы и в R, так как R является примером метрического пространства. Кроме этого в R мы докажем предельный переход в неравенствах, теорему о сжатой переменной, а также свойство произведения бесконечно малой последовательности и ограниченной. В конце лекции мы сформулируем понятие линейного пространства и нормы в нём, чтобы далее обосновать арифметические операции с пределами последовательностей. ⏱ В этой лекции: 00:00 Замечания об определении предела последовательности в R 01:56 Окрестности в метрическом пространстве 03:08 Открытый шар 04:37 Замкнутый шар 05:26 Сфера 06:14 Замечание о пересечении окрестностей 07:46 Предел последовательности в метрическом пространстве 11:05 Сходимость по метрике 13:23 Теорема о единственности предела последовательности 21:07 Ограниченные множества 24:10 Теорема об ограниченности сходящейся последовательности 30:05 Замечание о пределе последовательности в расширенном R 31:48 Теорема о предельном переходе в неравенстве 41:04 Замечание о строгости неравенства при предельном переходе 43:39 Теорема о сжатой переменной 49:34 Замечания о предельном переходе в неравенстве с бесконечно большой последовательностью 51:34 Следствие из теоремы о сжатой последовательности 54:37 Лемма о произведении бесконечно малой и ограниченной последовательностей 59:02 О недостаточности метрических пространств и необходимости введения нормированных пространств 1:00:51 Линейное пространство (векторное пространство) 1:11:08 Примеры линейных пространств 1:17:35 Норма 1:20:54 Нормированное пространство 1:21:32 Полунорма 1:21:57 Примеры норм 1:25:20 Пример полунормы 1:27:02 О чём будет следующая лекция? 🗂️ Плейлист: https://www.youtube.com/playlist?list=PLj83Zl_bweJzfur0sKOub1D1ClMIOofsB 🎥 Вводные лекции: https://www.youtube.com/playlist?list=PLj83Zl_bweJxt1Gnet3VEFd9xyMjfuJUh 📚 Рекомендуемая литература: 🔹 Виноградов О.Л. Математический анализ 🔹 Зорич В.А. Математический анализ (Том 1) 🙋♂️ Константин Правдин, канд. техн. наук, Университет ИТМО