Гордиевы графы преобразований узлов

А. Ю. Миллер, петербургский топологический семинар им. В. А. Рохлина. Аннотация: В задачах классической теории узлов нередко возникают различные геометрические процедуры, меняющие тип узла. Самый популярный вид таких процедур — локальные преобразования — замена в узле или зацеплении тэнгла одного типа на тэнгл другого типа. Среди хорошо изученных локальных преобразований — переключение перекрёстков, вложенная перестройка, Delta-преобразование, #-преобразование, n-преобразование. Но исследование каждого из этих локальных преобразований зачастую идет в строго определенном направлении, для разных преобразований задаются разные вопросы. В данном докладе будет представлен обзор использования метода Гордиевых графов для универсализации изучения преобразований узлов. Каждому преобразованию можно сопоставить его Гордиев граф, вершинами которого являются все узлы, а ребро между двумя вершинами проводится, если данное преобразование переводит один узел в другой и наоборот. Гордиевы графы позволяют конструировать гипотезы-шаблоны — задавать вопросы универсально, для любого преобразования, а также изучать новые свойства преобразований, трудно формулируемые в других терминах.