Доказательство формулы редукции интеграла от tan^n(x) с использованием обычного приема для степен...

00:00 Интеграл от tan^n(x), где n — целое число больше 1, вычисляется с помощью обычного приёма для степеней тангенса. Результатом является доказательство формулы приведения для tan^n(x). 00:21 Иллюстрируем на примере: начнём с простого примера интеграла tan^4(x). Стандартный подход здесь заключается в выделении множителя tan^2(x), а затем использовании тождества tan^2(x)=sec^2(x)-1. После распределения получается один член, степень тангенса которого следует за степенью секанса в квадрате, а затем дополнительный член с меньшей степенью тангенса. Первый член быстро вычисляется с помощью обратного правила дифференцирования, поскольку производная тангенса — это секанс в квадрате. Мы показываем, что интеграл от tan^4(x) следует формуле приведения после использования этого подхода. 01:59 Применяем стандартный приём для степеней тангенса к общему интегралу (tan(x))^n: чтобы применить тот же приём к общему доказательству формулы редукции, мы выделяем множитель (tan(x))^2 и применяем то же тождество Пифагора. Это даёт нам два члена: один легко интегрируется по правилу цепной функции в обратном порядке, а другой даёт интеграл tan^(n-2)(x). После вычисления обратного интеграла по правилу цепной функции мы получаем формулу редукции для интеграла от тангенса в n-й степени. ЧТЭК