062 — Количество чисел в факториале I | Подсчёт степеней простых чисел

Сколько степеней двойки скрыто внутри числа 50!? Можно было бы записать 50! и разложить каждое число на простые множители по одному, но это довольно быстро стало бы утомительно. Есть гораздо более быстрый способ. Хитрость заключается в том, чтобы посчитать кратные 2, затем 2², затем 2³, и продолжать до тех пор, пока следующая степень не станет больше факториала. Начните с плана подготовки к GMAT: https://gmat.gregmat.com/study-plans/the-gmat-study-plan РАЗДЕЛЫ 00:00 - Что означает «количество чисел в факториале»? 00:17 - Подсчет степеней двойки в 5! 01:17 - Подсчет степеней двойки в 10! 02:14 - Сколько степеней двойки в 50!? 02:43 - Подсчет факториалов 03:36 - Подсчет кратных 2, 4, 8, 16 и 32 04:20 - 50! содержит 47 степеней двойки 04:32 - Степени 3 в 100! 05:42 - Попробуйте сами: степени 7 в 440! 06:44 - Важное правило: этот прием предназначен для простых чисел 07:10 - Другой способ сформулировать вопрос 07:46 - Итоговый вывод Начнем с чего-нибудь простого. 5! означает: 5 × 4 × 3 × 2 × 1 Если мы разложим эти числа на простые множители, внутри 5! окажутся три двойки. С 10! мы все еще можем все записать и посчитать. А как насчет 50!? Записать все 50 чисел и разложить их на простые множители было бы кошмаром. Вместо этого посчитайте, сколько раз каждое число является кратным степени двойки: Кратные 2: 25 Кратные 4: 12 Кратные 8: 6 Кратные 16: 3 Кратные 32: 1 Теперь сложим: 25 + 12 + 6 + 3 + 1 = 47 Таким образом, в числе 50! содержится 47 степеней двойки. Та же идея работает и с другими простыми числами. Для числа 100! посчитайте степени числа 3: 33 + 11 + 3 + 1 = 48 Итак, 100! содержит 48 степеней числа 3. А для 440! количество степеней числа 7 равно: 62 + 8 + 1 = 71 Таким образом, 440! содержит 71 степень числа 7. Важное замечание: этот приём работает напрямую, когда число, которое вы считаете, является простым. Вопросы, включающие составное число, например, 4, требуют немного больше внимания. Мы рассмотрим это во второй части. Вы также можете встретить ту же идею, записанную по-другому. Если: 60! / 2ⁿ — целое число, каково максимально возможное значение n? На самом деле это вопрос: Сколько степеней числа 2 содержится в 60!? Формулировка выглядит по-другому. Идея та же. Тест к этому уроку: https://gmat.gregmat.com/quizzes/quiz/gmat-of-numbers-in-a-factorial-i Для доступа к тесту вам потребуется бесплатная учетная запись GregMat. Продолжите полный курс по арифметике GMAT: https://www.youtube.com/playlist?list=PLFzybs-0YWa0EYHxE1BIFuWrT7r5VgGdb Полная платформа для подготовки к GMAT: https://gmat.gregmat.com/ Если этот урок вам помог, подпишитесь на канал GregMat и продолжайте проходить курс GMAT Quant Foundations. #Факториалы #РазложениеНаПростыеФакториалы #GMATQuant #GMATArithmetic #СвойстваЧисла #GregMat