067 — Закономерности последней цифры в степенях

Какая цифра является последней в числе 9³⁵? Вычислять всё число целиком было бы нелепо — да и на GMAT у вас всё равно нет калькулятора. Хорошая новость: вам не нужно всё число целиком. Вам просто нужно найти закономерность в цифрах, являющихся последними. Начните с плана подготовки к GMAT: https://gmat.gregmat.com/study-plans/the-gmat-study-plan РАЗДЕЛЫ 00:00 - Нахождение цифры, являющейся последней в числе 9³⁵ 00:13 - Что такое цифра, являющаяся последней? 00:32 - Цифра в разряде единиц при работе с десятичными дробями 01:01 - Почему вычисление всей степени не работает 01:33 - Поиск повторяющегося шаблона 01:39 - Степени 9 02:37 - Повторяющийся шаблон 9, 1 02:46 - Четные и нечетные показатели степени 9 02:58 - Цифра в разряде единиц числа 9³⁵ 03:03 - Еще один пример: 2⁸⁰ 03:19 - Нахождение шаблона степеней 2 03:39 - Цикл 2, 4, 8, 6 03:56 - Почему важны кратные 4 04:45 - Нахождение цифры в разряде единиц числа 2⁸⁰ 05:05 - А как насчет 2⁸¹, 2⁸² и 2⁸³? 05:34 - Закономерности в разряде последних цифр чисел от 1 до 9 06:06 - Почему не нужно запоминать закономерности 06:25 - Более сложная задача на разряд последних цифр 06:36 - Цифра, равная последним цифрам числа 2²⁵ + 5³⁸ + 8⁶⁷ 06:45 - Нахождение цифры, равной последним цифрам числа 2²⁵ 07:02 - Нахождение цифры, равной последним цифрам числа 5³⁸ 07:06 - Нахождение цифры, равной последним цифрам числа 8⁶⁷ 07:31 - Окончательный ответ: 9 Начнем с: 9³⁵ Все число огромное, но нас интересует только его последняя цифра. Начнём с первых нескольких степеней числа 9: 9¹ → цифра 9 (в разряде единиц) 9² = 81 → цифра 1 (в разряде единиц) 9³ = 729 → цифра 9 (в разряде единиц) 9⁴ = 6561 → цифра 1 (в разряде единиц) Появляется закономерность: 9, 1, 9, 1... Итак: Нечётный показатель степени → цифра 9 (в разряде единиц) Чётный показатель степени → цифра 1 (в разряде единиц) Поскольку 35 — нечётное число: 9³⁵ имеет цифру 9 (в разряде единиц). Теперь возьмём: 2⁸⁰ Цифры единиц степеней числа 2 следуют этому повторяющемуся циклу: 2¹ → 2 2² → 4 2³ → 8 2⁴ → 6 Затем это Повторяется: 2, 4, 8, 6 Длина цикла равна 4. Всякий раз, когда показатель степени кратен 4, мы попадаем на последнее число в цикле: 6 Поскольку: 80 ÷ 4 = 20 80 кратно 4. Таким образом: 2⁸⁰ имеет последнюю цифру 6. А что насчет 2⁸¹? После того, как 2⁸⁰ заканчивается на 6, закономерность начинается снова: 2⁸¹ → 2 2⁸² → 4 2⁸³ → 8 Та же идея работает и с другими основаниями. Полезные закономерности в разряде единиц: 1 → 1 2 → 2, 4, 8, 6 3 → 3, 9, 7, 1 4 → 4, 6 5 → 5 6 → 6 7 → 7, 9, 3, 1 8 → 8, 4, 2, 6 9 → 9, 1 Но запоминать все это не обязательно. Если вы забыли закономерность, вычислите первые несколько степеней и смотрите только на разряд единиц. Большинство этих циклов очень быстро обнаруживаются. Теперь более сложный пример: Каков разряд единиц числа: 2²⁵ + 5³⁸ + 8⁶⁷? Для 2²⁵ используйте цикл: 2, 4, 8, 6 24 кратно 4, поэтому 25 начинает цикл заново. Цифра в разряде единиц = 2 Для 5³⁸: Каждая положительная степень числа 5 заканчивается на 5. Цифра в разряде единиц = 5 Для 8⁶⁷ используйте: 8, 4, 2, 6 64 кратно 4. Итак: 8⁶⁵ → 8 8⁶⁶ → 4 8⁶⁷ → 2 Цифра в разряде единиц = 2 Теперь сложите цифры в разряде единиц: 2 + 5 + 2 = 9 Таким образом, вся последовательность чисел в разряде единиц состоит из: 9 Вывод: Не вычисляйте огромные степени. Найдите повторяющийся шаблон из десяти цифр, определите, где находится показатель степени в этом цикле, и сохраните только последнюю цифру. Тест к этому уроку: https://gmat.gregmat.com/quizzes/quiz/gmat-unit-digit-patterns-with-exponents Для доступа к тесту вам потребуется бесплатная учетная запись GregMat. Продолжите полный курс по арифметике GMAT: https://www.youtube.com/playlist?list=PLFzybs-0YWa0EYHxE1BIFuWrT7r5VgGdb Полная платформа для подготовки к GMAT: https://gmat.gregmat.com/ Если этот урок вам помог, подпишитесь на канал GregMat и продолжайте проходить курс GMAT Quant Foundations. #ЕдиничныеЦифры #ПоказателиСтепени #GMATQuant #GMATArithmetic #СвойстваЧисла #GregMat