Площадь фигуры для функции от y: вычисление площади с помощью интеграла по y для функции x=g(y) +...

00:00 Дана функция x=g(y), и мы кратко прокомментируем смысл этой функции (входы y отображаются на выходы x). Это означает, что тест вертикальной линии не применим! Требованием для того, чтобы g(y) была функцией, является то, что каждый y связан ровно с одним x, а это значит, что вместо этого она проходит тест горизонтальной линии! 00:32 Чтобы вычислить площадь для функции от y, мы представим себе небольшой приращение площади dA: тонкий прямоугольный срез площади, ограниченной функцией от y и осью y. Длина этого прямоугольника задается координатой x точки на графике, соответствующей выбранной координате y для построения прямоугольника. Толщина dA задается небольшим вертикальным приращением dy. Умножив длину на толщину, мы получим выражение для dA через y. Таким образом, чтобы вычислить площадь с помощью интеграла по y, мы просто суммируем вклады в площадь с помощью интеграла (интегрирование — это непрерывное суммирование). Мы интегрируем dA от начального значения y до конечного значения y и получаем формулу для интеграла по y для функции x=g(y). 02:04 Пример площади, ограниченной функцией от y: нам дана кривая g(y)=-1/2*y²+2y, и мы вычисляем площадь на интервале y [0,4]. Снова представим тонкий прямоугольный срез площади, dA, и обозначим его длину, которая определяется значением x, соответствующим нашей вертикальной координате y: -1/2y²+2y. Толщина снова равна dy, и мы записываем dA=-1/2y²+2y dy. Для вычисления интеграла по y мы предполагаем первообразные и вычисляем их в пределах интегрирования, и получаем площадь, ограниченную функцией от y.