Андрей Рябичев, "Геометрия кватернионов и случайные блуждания"

Комбинаторика и топология — совместный семинар ВШМ и лаборатории комбинаторных и геометрических структур ФПМИ МФТИ. Страница семинара https://old.mccme.ru/ium/s23/ryabichev/f25-mipt-topkomb.html Доклад 20 февраля 2026. Мы рассмотрим следующую задачу о случайном блуждании: Петя делает k шагов единичной длины в d-мерном пространстве, каждый раз выбирая направление случайным образом. Тогда матожидание 2n-ной степени расстояния по прямой от старта до финиша для любых n и k является целым числом, если d=1, 2 или 4. Для d=2 эта задача решается при помощи комплексных чисел и имеет комбинаторную модель для подсчёта искомого матожидания. Хочется обобщить это решение для d=4, используя кватернионы, но пока я умею это делать только для n=1 и 2, но уже при n=3 вычисления становятся запутанными. Мы разберём решение задачи для d=1 и 2, а также докажем некоторые свойства случайных кватернионов, которые могут быть полезными для решения при d=4. В целом я приглашаю желающих подумать над этой задачей и обсудить идеи.