Визуализация тензоров — часть 3A

В этом видео визуализируется пространство прямой суммы и начинается объяснение пространств тензорных произведений. В нем показан простой пример из классической физики и система из двух кубитов в качестве примера из квантовой физики. Мы демонстрируем, как тензоры связаны с квантовой запутанностью. Примечания о путанице в терминологии: Термин «тензорное произведение» может относиться к комбинации двух векторных пространств W=U*V, создающей пространство тензорных произведений. Но иногда он также относится к комбинации двух векторов u и v, создающей простой тензор w=u*v. Последнее иногда также называют «отображением тензорного произведения». В видео мы использовали внешнее произведение, которое может выполнять отображение тензорного произведения при заданной системе координат. Позже в видео мы будем называть это «сваркой тензорных произведений». Термин «тензор» иногда определяется как элемент в пространстве тензорных произведений W=U*V. Иногда определение бывает более ограничительным, утверждая, что тензоры являются элементами пространства тензорного произведения только в том случае, если векторные пространства совпадают, т.е. W=V*V (допуская также двойственные пространства, чего мы еще не рассматривали). Термин «простой тензор», используемый в видео, имеет несколько альтернатив: «разложимый тензор», «чистый тензор» или «элементарный тензор». В квантовой физике используются «гильбертовы пространства», которые представляют собой векторные пространства с некоторыми дополнительными свойствами, среди которых существование операции скалярного произведения. Постулат квантовой физики гласит, что каждая система имеет гильбертово пространство в качестве своего пространства состояний. Если две системы имеют пространства состояний U и V, то пространство объединенной системы является их тензорным произведением W=U*V, как объясняется в видео. Во многих случаях W — это просто другое гильбертово пространство, которое выступает в качестве пространства состояний системы, поэтому его элементы по-прежнему называются «векторами». Нам нужны их тензорные свойства только для некоторых целей. * В видео показано различие между сепарабельными состояниями и запутанными состояниями. Существует также различие между «чистыми состояниями» и «смешанными состояниями». Чистое состояние соответствует реальному физическому состоянию. В видео показаны только чистые состояния. Смешанное состояние отражает «классическую неопределенность», то есть тот факт, что мы можем не знать физического состояния полностью. Например, предположим, мы поместили в две коробки «выключенный» кубит и «включенный» кубит. Затем мы перемешиваем коробки и выбираем одну. Мы знаем, что эта коробка содержит кубит в «выключенном» или «включенном» состоянии с распределением 50/50%. Это смешанное состояние: кубит либо выключен, либо включен, мы просто не знаем. Это отличается от суперпозиции 50/50, которая является чистым состоянием: само физическое состояние содержит неопределенность относительно свойства «включено/выключено». В квантовой физике существует формализм для работы со смешанными состояниями, который включает операцию «внешнего произведения», в результате которой получается «матрица плотности». В видео показано не это. В видео рассматриваются только чистые состояния.