Число Грэма — это одно из самых больших чисел, когда-либо использовавшихся в математических доказательствах. Оно настолько велико, что его невозможно записать в привычной десятичной системе, даже если использовать всю материю Вселенной для записи цифр.
Вот суть:
Проблема, которую оно решает
Число возникло в теории Рамсея. Рассмотрим n-мерный гиперкуб. Соединим все пары вершин линиями (рёбрами) и раскрасим каждое ребро в один из двух цветов (например, красный или синий). Вопрос: при каком минимальном n гарантированно найдётся такая четвёрка вершин, лежащая в одной плоскости, что все шесть соединяющих их рёбер будут одного цвета?
Число Грэма — это верхняя граница для этого n. То есть при размерности, равной числу Грэма (или больше), такая одноцветная четвёрка точно найдётся. Точное минимальное значение до сих пор неизвестно, известно лишь, что оно находится между 13 и числом Грэма.
Как его записывают
Используют стрелочную нотацию Кнута:
· Одна стрелка: a \uparrow b = a^b (возведение в степень).
· Две стрелки: a \uparrow\uparrow b — это тетрация (башня степеней высотой b).
· Три стрелки: a \uparrow\uparrow\uparrow b — пентация, и так далее.
Число Грэма G определяется так:
G = g_{64}, \quad \text{где } g_1 = 3 \uparrow\uparrow\uparrow\uparrow 3,
а каждое следующее:
g_n = 3 \uparrow^{g_{n-1}} 3
(то есть количество стрелок между тройками равно предыдущему числу).
Уже g_1 чудовищно велико. g_2 — это 3 со стрелками, число которых равно g_1. И так до g_{64}.
Масштаб
· Количество цифр в числе Грэма невозможно уместить даже в наблюдаемой Вселенной.
· Если мысленно возвести всё Observable Universe в степень, и повторить это много раз, всё равно не приблизиться.
· Последние 10 цифр числа Грэма известны: ...2464195387.
Интересный факт
С 1980 года число Грэма попало в Книгу рекордов Гиннесса как самое большое число, когда-либо использованное в серьёзном математическом доказательстве. Позже его «переплюнули» другие числа (например, в теории Рамсея и в быстрорастущей иерархии), но число Грэма осталось самым знаменитым «большим числом».