mathproofsm3e

Солнечный свет старый: энергия из ядра выбирается наружу больше ста тысяч лет. А нейтрино пролетают Солнце насквозь и долетают от ядра примерно за восемь минут — они показывают ядро таким, какое оно сейчас. Рэймонд Дэвис ловил их 615 тоннами жидкости для химчистки в шахте Хоумстейк, в полутора километрах под землёй: раз в пару дней нейтрино превращало один атом хлора в аргон. Около тридцати лет он насчитывал лишь треть от предсказания модели Солнца. В 1972 году в Nature даже предположили, что ядро время от времени тускнеет и приносит ледниковые периоды. Детектор Камиоканде Масатоси Кошибы поймал нейтрино от сверхновой 1987A и от Солнца — детекторы работали, а нейтрино было мало. Ответ: по дороге нейтрино меняют сорт и превращаются в те, которых хлор не видит; если считать все сорта, эксперимент SNO в 2001–2002 годах нашёл их все. Нобелевская премия по физике 2002: Рэймонд Дэвис и Масатоси Кошиба «за основополагающий вклад в астрофизику, в особенности за регистрацию космических нейтрино», Риккардо Джаккони «за основополагающий вклад в астрофизику, приведший к открытию космических источников рентгеновского излучения». Источники: • NobelPrize.org: The Nobel Prize in Physics 2002 • R. Davis, нобелевская лекция (2002); B. T. Cleveland et al., ApJ 496, 505 (1998) • F. W. W. Dilke, D. O. Gough, Nature 240, 262 (1972) • SNO: PRL 87, 071301 (2001); PRL 89, 011301 (2002) #Shorts #Физика #НобелевскаяПремия #Нейтрино #Солнце

Там, где два облака сверххолодных атомов накладываются, появляются полосы, в которых атомов нет совсем. В 1924–25 годах Эйнштейн вслед за Бозе предсказал: если газ охладить достаточно, все его атомы свалятся в одно состояние, — и семьдесят лет так охладить никто не мог. Лазерное охлаждение дошло до миллионных долей градуса; Эрик Корнелл и Карл Виман держали рубидий в магнитной ловушке и давали самым горячим атомам испариться. 5 июня 1995 года, примерно при 170 миллиардных градуса, в тени облака вырос острый пик: около 2000 атомов почти остановились — все вместе. Группа Вольфганга Кеттерле в MIT потом наложила два таких конденсата и увидела интерференционные полосы. При таком холоде квантовая волна атома (≈0,45 мкм у рубидия при 170 нК) примерно в тысячу раз шире самого атома: волны сливаются в одну — а волны умеют гасить друг друга. Нобелевская премия по физике 2001: Эрик Корнелл, Вольфганг Кеттерле и Карл Виман «за получение бозе-эйнштейновской конденсации в разреженных газах атомов щелочных металлов и за первые фундаментальные исследования свойств конденсатов». #Shorts #Физика #НобелевскаяПремия #Квант

Дарвину нужны были сотни миллионов лет — в «Происхождении видов» он прикинул, что только размыв одной английской долины, Уилда, занял около 300 миллионов. Лорд Кельвин ответил физикой: Земля родилась расплавленной и с тех пор остывает; по росту температуры с глубиной (около градуса на 30 м) и скорости утечки тепла он получил около 100 млн лет (1862), а позже — 20–40 млн. В 1904 году Резерфорд сказал в зале, где сидел Кельвин, что радиоактивность греет Землю изнутри, — так это спасение описывают учебники. Но если положить радиоактивность туда, где она есть (в кору), ответ Кельвина почти не меняется. Настоящую ошибку нашёл в 1895 году его бывший ученик Джон Перри: недра — не твёрдый проводник, они перемешиваются (конвекция) и всё время подвозят тепло наверх, поэтому Земле могут быть миллиарды лет. Ей 4,54. #Shorts #Физика #Геология #ИсторияНауки

Париж, 1851 год: Леон Фуко повесил шар в 28 кг на проволоке длиной 67 м под купол Пантеона; остриё под шаром чертило по кольцу песка. Час за часом черта поворачивалась — примерно на 11° в час, хотя никто её не трогал, а скрутка проволоки лишь вращала бы шар вокруг себя. Ещё страннее: полный круг — не за 24 часа, а примерно за 32; на полюсе было бы ровно сутки, на экваторе маятник не поворачивается вовсе. Маятник держит направление, а под ним поворачивается пол — Земля. Пол под вами поворачивается на долю sin(широты) от оборота в сутки: на полюсе целиком, на экваторе нисколько, в Париже — на три четверти: 24 ч / 0,75 ≈ 32 ч. Источники: • L. Foucault, Comptes rendus 32, 135 (1851) • Wikipedia: Foucault pendulum • A. D. Aczel, «Pendulum: Léon Foucault and the Triumph of Science» (2003) #Shorts #Физика #МаятникФуко #Земля

Франкфурт, 1922 год: Отто Штерн и Вальтер Герлах пустили пучок атомов серебра из горячей печки мимо магнита с одним острым полюсом. Каждый атом серебра — крошечный магнит, и из печки они летят как попало, поэтому магнит, толкающий атом по его наклону, должен размазать их полосой по стеклянной пластинке. По рассказу Штерна, едва заметный налёт проявился, лишь когда сера из его дешёвой сигары зачернила серебро. Это была не полоса: два пятна — и ничего между ними. Авторы решили, что подтвердили теорию Бора (открытка Герлаха Бору, 8 февраля 1922). На самом деле магнит, который бывает только «вверх» или «вниз», — это спин электрона, названный лишь в 1925 году. #Shorts #Физика #КвантоваяМеханика #Спин

В 2022 году болиды Формулы-1 начали подпрыгивать на ровных прямых около 300 км/ч — и чем быстрее, тем сильнее; в Баку Хэмилтон еле выбрался из машины. Инженеры узнали болезнь: машины с граунд-эффектом конца 70-х (Lotus 78/79, «пылесос» Brabham) вели себя так же, а в 2022-м вернулось такое же днище. Под машиной два туннеля Вентури: в узком месте воздух разгоняется и давление падает (Бернулли), и машину присасывает к асфальту — порядка двух тонн на 300 км/ч (наша грубая оценка) при массе 800 кг. Чем ниже машина, тем сильнее прижим — пока у самой земли поток в туннеле не захлебнётся и не оторвётся. Прижим исчезает, пружины подбрасывают машину, поток возвращается и снова бьёт её вниз. С 2023 года FIA подняла края днища на 15 мм. #Shorts #Физика #Формула1 #Аэродинамика

В 1911 году Эйнштейн предсказал, что свет звезды у края Солнца отклоняется на 0,83″ — столько же, сколько даёт «падение света» по Ньютону. Звёзды рядом с Солнцем видно только в полное затмение; ближайшее подходящее — 21 августа 1914 года в Крыму. Эрвин Фрейндлих поехал туда с телескопами (деньги нашёл Эйнштейн), но за три недели до затмения началась война: его интернировали, приборы конфисковали. В ноябре 1915 года общая теория относительности дала вдвое больше — 1,75″: вторая половина — это искривление пространства. В 1919 году экспедиции Эддингтона намерили 1,98″ (Собрал) и 1,61″ (Принсипи). Удайся измерение 1914 года — оно показало бы вдвое больше тогдашнего предсказания Эйнштейна. #Shorts #Физика #Эйнштейн #ТеорияОтносительности

В 1909 году атом считали мягким «пудингом»: положительный заряд размазан, электроны сидят в нём, как изюм, — ничего твёрдого. Альфа-частицы Резерфорда (≈7300 масс электрона, ≈19 000 км/с) прошивали золотую фольгу толщиной ≈1400 атомов и отклонялись на градус-другой. Поэтому, когда 20-летнему Эрнесту Марсдену понадобилась первая работа, Резерфорд дал ему формальность — проверить, не отскакивает ли что-нибудь назад, уверенный, что нет. Примерно одна из 20 000 разворачивалась больше чем на 90°. «Это было почти так же невероятно, как если бы 15-дюймовый снаряд отскочил от папиросной бумаги и попал в вас», — вспоминал Резерфорд. Мелкие толчки так не могут — нужен один удар о крошечный тяжёлый центр: ядро, в десятки тысяч раз меньше атома. #Shorts #Физика #Резерфорд #Атом

Солнце светит, сливая водород в гелий, — так в 1920 году предположил Эддингтон. Но протоны отталкиваются: чтобы столкнуться вплотную, нужно около 10 млрд K, а в ядре Солнца около 15 млн K, примерно в 600 раз холоднее. Критикам, говорившим, что звёзды недостаточно горячи, Эддингтон ответил: «найдите место погорячее» («Внутреннее строение звёзд», 1926). Подсказку дал уран. Его альфа-частицы (4,2 МэВ) вылетают из ядра, хотя, как показал Резерфорд в 1927 году, альфа-частицы примерно вдвое энергичнее проникнуть внутрь не могут. Гамов в 1928 году, и независимо от него Гёрни и Кондон, объяснили это: частица — волна, и её хвост просачивается сквозь стену. Это туннельный эффект. Аткинсон и Хаутерманс в 1929 году перенесли идею на звёзды: если можно наружу, то можно и внутрь. Слияние всё равно так редко, что протон ждёт его в среднем миллиарды лет. Такой медленный темп задают туннелирование и слабое взаимодействие вместе. Источники: • A. S. Eddington, Nature 106, 14 (1920); The Internal Constitution of the Stars (1926), с. 301 • E. Rutherford, Phil. Mag. 4, 580 (1927) • G. Gamow, Z. Phys. 51, 204 (1928); R. W. Gurney, E. U. Condon, Nature 122, 439 (1928) • R. d'E. Atkinson, F. G. Houtermans, Z. Phys. 54, 656 (1929) #Shorts #Физика #КвантоваяМеханика #Солнце

В 1963 году Герберт Крёмер предложил новый полупроводниковый лазер. Статью отклонил журнал Applied Physics Letters, а денег на разработку, как он вспоминал в нобелевской лекции, не дали: прибор «не может иметь никакого практического применения». Первые полупроводниковые лазеры вспыхивали лишь импульсами, в глубокой заморозке, и быстро сгорали. Идея Крёмера — сэндвич: тонкий слой одного полупроводника между двумя другими запирает в середине и электроны, и свет. В 1970 году в Ленинграде команда Жореса Алфёрова заставила такой лазер на двойной гетероструктуре светить непрерывно при комнатной температуре. Этот сэндвич теперь работает в оптоволоконном интернете, светодиодах и быстрых транзисторах каждого телефона. Половина премии — Джеку Килби за первую интегральную микросхему (1958). Нобелевская премия по физике 2000: «за основополагающие работы в области информационных и коммуникационных технологий» — Жорес Алфёров и Герберт Крёмер «за разработку полупроводниковых гетероструктур для высокоскоростной и оптоэлектроники», Джек Килби «за вклад в изобретение интегральной схемы». Источники: • NobelPrize.org: The Nobel Prize in Physics 2000 • H. Kroemer, нобелевская лекция (2000) • ETHW: Herbert Kroemer; обзор в Nature Photonics (2019) #Shorts #Физика #НобелевскаяПремия #Полупроводники #Лазер

Почему больше чисел начинается с единицы, чем с девятки? Население, длины рек, банковские счета: около 30 % начинаются с 1. На логарифмической линейке шаг от 1 до 2 широкий, а от 8 до 9 узкий, и рост умножением дольше задерживается на широких шагах. Так получается закон Бенфорда: P(d) = log₁₀(1 + 1/d), 30,1 % для 1 и лишь 4,6 % для 9. Проверим на первой тысяче степеней двойки: первые цифры совпадают (посчитано кодом). История: Ньюком заметил это в 1881 году (по рассказам, по затёртым первым страницам таблиц логарифмов); Бенфорд проверил 20 229 чисел в 1938-м. Бухгалтеры используют закон как сигнал тревоги для выдуманных чисел: сигнал, но не доказательство. Дальше: парадокс дней рождения. Источники: • Wikipedia: «Benford's law» • S. Newcomb, Am. J. Math. 4 (1881); F. Benford, Proc. Am. Philos. Soc. 78 (1938) #Shorts #Математика #ЗаконБенфорда #Статистика

Заканчиваются ли простые числа? Около 2300 лет назад Евклид ответил в несколько строк. Пусть есть список простых — всегда найдётся ещё одно. Возьмём первые шесть простых: 2, 3, 5, 7, 11, 13. Перемножим (30 030) и прибавим 1: 30 031. Остаток от деления на любое простое из списка равен 1, значит, ни одно из них не делит число, и его простые множители новые. Здесь 30 031 = 59 × 509 — два простых не из списка. Само число не всегда простое, новые лишь его множители. Дальше: закон Бенфорда. Источники: • Euclid, «Elements», книга IX, предложение 20 (издание D. Joyce) • Wikipedia: «Euclid's theorem», «Primorial» #Shorts #Математика #Евклид #ПростыеЧисла

Бросим иглу на пол с параллельными линиями. Пересечёт ли она линию? Удивительно, но в вероятности есть π. Пусть игла длиной с промежуток между линиями. Она пересекает линию, когда её центр ближе к линии, чем (sin θ)/2. Площадь под этой кривой — 1/2 в прямоугольнике площадью π/4, значит, вероятность 2/π = 0,6366. Компьютерная симуляция 1 000 000 игл даёт π ≈ 3,14 (на картинке 40 игл брошены точно). История: Бюффон поставил задачу в 1733 году и решил в 1777-м. В 1901 году сообщение о 355/113 всего за 3408 бросков выглядит слишком идеальным. Дальше: формула Эйлера для многогранников. Источники: • Wikipedia: «Buffon's needle problem» • MathWorld: «Buffon's Needle Problem» #Shorts #Математика #Бюффон #Пи

Сложим обратные квадраты: 1 + 1/4 + 1/9 + … Сумма стремится к 1,6449 — это π²/6. Снова пи? После 1000 слагаемых сумма 1,64393; предел 1,644934. В 1734 году у Эйлера возникла смелая идея: многочлен — произведение множителей, по одному на корень, а у sin x / x корни ±π, ±2π, … Значит, sin x / x = ∏(1 − x²/(n²π²)). Сравнивая члены с x²: −1/6 = −(Σ 1/n²)/π², то есть Σ 1/n² = π²/6. Тогда рассуждение не было строгим, обоснование появилось позже. История: задачу поставил Менголи в 1650 году; братья Бернулли решить её не смогли. Дальше: Кантор и бесконечности, которые нельзя перечислить. Источники: • Wikipedia: «Basel problem» • W. Dunham, «Euler: The Master of Us All» #Shorts #Математика #Эйлер #БазельскаяЗадача

Почему сохраняется энергия? Потому что законы физики сегодня такие же, как завтра. Эмми Нётер, 1918: каждая симметрия законов даёт закон сохранения. Сдвиг во времени — энергия, сдвиг в пространстве — импульс, поворот — момент импульса. В центральной силе орбита сохраняет момент импульса (изменение меньше 10⁻⁵ в нашей численной орбите); добавим боковую силу — симметрия поворота исчезает, и момент импульса плывёт. В расширяющейся Вселенной законы меняются со временем, поэтому энергия не сохраняется в обычном смысле: свет теряет энергию при растяжении. Дальше: Эйлер и базельская задача. Источники: • E. Noether, «Invariante Variationsprobleme» (Гёттинген, 1918) • Wikipedia: «Noether's theorem»

По часам GPS сигнал из Лондона в Нью-Йорк идёт быстрее, чем обратно. Тот же кабель, та же скорость света — откуда разница? Кабель лежит на вращающейся Земле. Если смотреть с Северного полюса, оба сигнала летят ровно со скоростью света, но пока они летят, Земля поворачивается: на восток Лондон убегает от сигнала, на запад Нью-Йорк едет ему навстречу. Лондон ↔ Нью-Йорк: разница около 34 нс. Пусти два сигнала вокруг экватора в разные стороны — они вернутся с разницей около 415 нс (≈ 124 м пути света). Это эффект Саньяка; GPS считает время в системе, где Земля не вращается, и поправляет каждый сигнал. Источники: • N. Ashby, «Relativity in the Global Positioning System», Living Reviews in Relativity 6 (2003) • D. W. Allan, M. Weiss, N. Ashby, «Around-the-world relativistic Sagnac experiment», Science 228 (1985) • G. Sagnac, Comptes Rendus 157 (1913) #Shorts #Физика #Относительность #GPS

Галактики разлетаются. Прокрутим плёнку назад: когда они были в одном месте? Ответ даёт одно деление. Галактика вдвое дальше летит вдвое быстрее, поэтому при прокрутке все возвращаются в один и тот же момент: t = расстояние / скорость = 1/H₀. При H₀ = 70 км/с на Мпк это около 14 млрд лет. С числом самого Хаббла, 500, выходило лишь 2 млрд лет — моложе земных пород; ошибся масштаб расстояний, а не идея. Сегодняшнее значение — около 13,8 млрд лет, близко к 1/H₀, потому что скорость расширения менялась. Дальше: Минковский и пространство-время. Источники: • Wikipedia: «Hubble's law», «Age of the universe» • E. Hubble, PNAS 15 (1929); NASA «Cosmic Times» 1929 • Planck 2018 (13,787 ± 0,020 млрд лет)

Свет далёких галактик приходит краснее, чем ушёл. Не из-за пыли и не совсем из-за бегства галактик: пространство между нами растянулось. Правило: 1 + z = a(сейчас) / a(тогда), длина волны растёт ровно во столько же раз, во сколько Вселенная. При z = 1 Вселенная была вдвое меньше, и красный свет водорода 656 нм приходит как 1313 нм. Самый древний свет, реликтовое излучение, ушёл при z ≈ 1090, когда температура была около 3000 К; теперь это 2,7 К. Дальше: сколько лет Вселенной? Первая оценка из 1/H₀. Источники: • Wikipedia: «Redshift», «Hubble's law» • Planck 2018 (T = 2,7255 К, z* ≈ 1090) • Измерения спектров В. Слайфера (1910-е) #Shorts #Астрономия #Космология #КрасноеСмещение

В 1917 году Эйнштейн подправил свои уравнения, чтобы Вселенная стояла на месте. В 1922-м Фридман спросил: а если не подправлять? Для вещества размер a(t) подчиняется (da/dt)² = C/a − k. Три случая: k = +1 — расширение, остановка и сжатие (циклоида: a = (1 − cos η)/2, t = (η − sin η)/2); k = 0 — расширение всё медленнее (a ∝ t^(2/3)); k = −1 — вечное расширение. Числа проверены кодом. История: Фридман опубликовал работу в 1922 году (Zeitschrift für Physik 10, 377). Эйнштейн сперва счёл её ошибочной, затем снял возражение; Фридман умер в 1925-м; галактики Хаббла подтвердили расширение в 1929-м. Дальше: космологическое красное смещение. Источники: • A. Friedmann, «Über die Krümmung des Raumes», Z. Phys. 10 (1922) • Заметка Эйнштейна, Z. Phys. 11 (1922) и её отзыв (1923) • Wikipedia: «Friedmann equations», «Alexander Friedmann» #Shorts #Физика #Космология #Фридман #ОТО

В 1929 году Хаббл нашёл: галактики разбегаются от нас, и чем дальше, тем быстрее. Мы в центре Вселенной? Нет. Закон: v = H · d. По 24 галактикам Хаббла выходило около 500 км/с на мегапарсек. Расставим точки на растягивающейся ленте: от любой точки остальные удаляются пропорционально расстоянию, значит, каждая галактика видит одно и то же — центра нет. История: Леметр вывел закон в 1927 году. Расстояния Хаббла были занижены, поэтому его число примерно в семь раз завышено; сегодня H₀ около 70 км/с на Мпк. Дальше: Фридман, 1922, и расширение Вселенной прямо из уравнений. Источники: • E. Hubble, PNAS 15 (1929) 168 • Wikipedia: «Hubble's law» • PNAS 2015, «Hubble's Law and the expanding universe» • ATNF: «Edwin Hubble & the Expanding Universe» #Shorts #Астрономия #Космология #ЗаконХаббла