Геометрия 8 класс (Урок№22 - Значения синуса, косинуса и тангенса некоторых углов.)
Геометрия 8 класс (Урок№22 - Значения синуса, косинуса и тангенса некоторых углов.) На уроке мы узнаем значения синуса, косинуса и тангенса в прямоугольном треугольнике. Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС Размеры катетов и гипотенузы следующие AC = 12 BC = 9 AB = 15 Разделим длину катета АС на длину гипотенузы АВ AC/AB = 12/15 = 4/5 = 0,8 Возьмем точку С1 на отрезке АС, проведем к нему перпендикуляр С1В1 Измерим отрезки АС1 и АВ1. AC1 = 6; AB1 = 7,5. (AC1)/(AB1) = 6/7,5 = 0,8 Возьмем точку С2 на продолжении отрезка АС и проведем перпендикуляр С2В2. Измерим отрезки АС2 и АВ2. AC2 = 15; AB2 = 18,75. (AC2)/(AB2) = 15/18,75 = 0,8 Заметим, что катет АС является прилежащим к углу А треугольника АВС. Катет АС1 является прилежащим к углу А в треугольнике АС1В1. Катет АС2 также является прилежащим к углу А, но уже в треугольнике АС2В2. Получилось, что отношение прилежащего катета к гипотенузе во всех трех случаях равно 0,8. Очевидно, что это отношение зависит только от угла А. AC/AB = (AC1)/(AB1) = (AC2)/(AB2) = 0,8 Определение: Отношение прилежащего катета к гипотенузе называется косинусом острого угла прямоугольного треугольника cosA = AC/AB Отношение противолежащего катета к гипотенузе называется синусом острого угла прямоугольного треугольника sinA = BC/AB Отношение противолежащего катета к прилежащему называется тангенсом острого угла прямоугольного треугольника tgA = BC/AC Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника – это числа. Подумайте, какими числами могут быть синус, косинус и тангенс. tgA = sinA/cosA Докажем утверждение: Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, а также косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны. Пусть угол А равен углу А1 и углы С и С1 прямые. Тогда треугольники АВС и А1С1В1 подобны по двум углам. Поэтому равны отношения AB/(A1B1) = AC/(A1C1) = BC/(B1C1) , следовательно BC/AB = (B1C1)/(A1B1), поэтому sinA = sinA1 Из равенства отношений AC/(AB) = (A1C1)/(A1B1), следовательно cosA = cosA1 Из равенства отношений BC/AC = (B1C1)/(A1C1), следовательно tgA = tgA1 В прямоугольном треугольнике выполняется теорема Пифагора - BC^2 + AC^2 = AB^2. Разделим почленно обе части равенства на АВ2 BC^2/AB^2 + AC^2/AB^2 = AB^2/AB^2 Используя определение синуса и косинуса угла А, получим sin^2A + cos^2A = 1 ОСНОВНОЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЕ ТОЖДЕСТВО Из основного тригонометрического тождества зная косинус угла, легко найти его синус и наоборот Пример: cosA = 0,8 Найдите sinA Решение: По основному тригонометрическому тождеству получим sin^2A + cos2A = 1, sin^2A + 0,82 = 1, sin^2A = 1 − 0,82 sin^2А = 0,36 sinA = 0,6 Геометрия, 7-9: учеб. для общеобразоват. учреждений/ [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.]. – М.: Просвещение, 2017.
Геометрия 8 класс (Урок№22 - Значения синуса, косинуса и тангенса некоторых углов.) На уроке мы узнаем значения синуса, косинуса и тангенса в прямоугольном треугольнике. Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС Размеры катетов и гипотенузы следующие AC = 12 BC = 9 AB = 15 Разделим длину катета АС на длину гипотенузы АВ AC/AB = 12/15 = 4/5 = 0,8 Возьмем точку С1 на отрезке АС, проведем к нему перпендикуляр С1В1 Измерим отрезки АС1 и АВ1. AC1 = 6; AB1 = 7,5. (AC1)/(AB1) = 6/7,5 = 0,8 Возьмем точку С2 на продолжении отрезка АС и проведем перпендикуляр С2В2. Измерим отрезки АС2 и АВ2. AC2 = 15; AB2 = 18,75. (AC2)/(AB2) = 15/18,75 = 0,8 Заметим, что катет АС является прилежащим к углу А треугольника АВС. Катет АС1 является прилежащим к углу А в треугольнике АС1В1. Катет АС2 также является прилежащим к углу А, но уже в треугольнике АС2В2. Получилось, что отношение прилежащего катета к гипотенузе во всех трех случаях равно 0,8. Очевидно, что это отношение зависит только от угла А. AC/AB = (AC1)/(AB1) = (AC2)/(AB2) = 0,8 Определение: Отношение прилежащего катета к гипотенузе называется косинусом острого угла прямоугольного треугольника cosA = AC/AB Отношение противолежащего катета к гипотенузе называется синусом острого угла прямоугольного треугольника sinA = BC/AB Отношение противолежащего катета к прилежащему называется тангенсом острого угла прямоугольного треугольника tgA = BC/AC Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника – это числа. Подумайте, какими числами могут быть синус, косинус и тангенс. tgA = sinA/cosA Докажем утверждение: Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, а также косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны. Пусть угол А равен углу А1 и углы С и С1 прямые. Тогда треугольники АВС и А1С1В1 подобны по двум углам. Поэтому равны отношения AB/(A1B1) = AC/(A1C1) = BC/(B1C1) , следовательно BC/AB = (B1C1)/(A1B1), поэтому sinA = sinA1 Из равенства отношений AC/(AB) = (A1C1)/(A1B1), следовательно cosA = cosA1 Из равенства отношений BC/AC = (B1C1)/(A1C1), следовательно tgA = tgA1 В прямоугольном треугольнике выполняется теорема Пифагора - BC^2 + AC^2 = AB^2. Разделим почленно обе части равенства на АВ2 BC^2/AB^2 + AC^2/AB^2 = AB^2/AB^2 Используя определение синуса и косинуса угла А, получим sin^2A + cos^2A = 1 ОСНОВНОЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЕ ТОЖДЕСТВО Из основного тригонометрического тождества зная косинус угла, легко найти его синус и наоборот Пример: cosA = 0,8 Найдите sinA Решение: По основному тригонометрическому тождеству получим sin^2A + cos2A = 1, sin^2A + 0,82 = 1, sin^2A = 1 − 0,82 sin^2А = 0,36 sinA = 0,6 Геометрия, 7-9: учеб. для общеобразоват. учреждений/ [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.]. – М.: Просвещение, 2017.